Алгебра
для чайников

Надеемся, Вы вдохновились нашим первым выпуском и уже спешите узнать, о чём мы расскажем вам во втором. Судя по названию, вы, скорее всего, уже предполагаете, что мы будем говорить об алгебре. С одной стороны — да, а с другой — не совсем! Сегодняшний выпуск действительно будет посвящён алгебре, но не только той, о которой вы, возможно, подумали. Оказывается, существует множество различных алгебр, каждая из которых удобна для описания различных математических объектов. Сегодня мы узнаем, что такое общая алгебра, обсудим, чем школьная алгебра отличается от общей, разберем несколько наиболее часто используемых алгебр и, наконец, ответим на вопрос: зачем нам вообще нужно столько алгебр?

Что такое алгебра? Чем общая алгебра отличается от школьной?

Наверняка Вы помните школьный предмет «алгебра», который обычно изучается параллельно с геометрией. В младших классах алгебра и геометрия объединены под общим названием «математика», но позже, начиная примерно с 6 класса (в некоторых школах раньше или позже), эти дисциплины разделяются. В алгебре Вы начинаете использовать буквы вместо чисел, или, как их называют, переменные, и учитесь работать с ними: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, решать уравнения и т. п. То, чем Вы занимались в школе, называется элементарной алгеброй. В данном случае «элементарная» не означает «простая», а указывает на то, что Вы работаете непосредственно с элементами алгебры, то есть с числами.

А что такое алгебра в общем виде?

Для того чтобы мы смогли грамотно с Вами ответить на этот вопрос, нам необходимо рассмотреть такое понятие, как линейное пространство. Не пугайтесь, мы постараемся объяснить его понятно!

Под линейным пространством мы подразумеваем множество, на котором мы определяем понятие сложение любых двух элементов и умножение любого элемента на любое число. При этом результатом сложения любых двух элементов или умножения на число обязательно будет элемент из рассматриваемого множества. Более того, мы потребуем выполнения от этих двух операций следующих 8 свойств:

1.    От перестановки мест слагаемых сумма не меняется (a+b=b+a).

2.    Не важно в каком порядке складывать элементы между собой. То есть при сложении можно просто убрать скобки, определяющие порядок сложения ((a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c).

3. В рассматриваемом множестве есть элемент 0, называемый нулевым,  так что, если его прибавить к любому другому, то значение второго не изменится (a+0=a).

4.    В рассматриваемом множестве у любого элемента a есть элемент -a, называемый противоположным, такой что их сумма равна нулевому элементу 0 (a+(-a)=0).

5. При умножении любого элемента множества на два каких-то числа 𝛼, 𝛽 не имеет значения перемножите Вы их по порядку или сначала перемножите 𝛼 и 𝛽 между собой, а затем на элемент множества (𝛼(𝛽a)=(𝛼𝛽)a)).

6.    При умножении суммы каких-то двух чисел 𝛼, 𝛽 на произвольный элемент a множества скобки можно раскрыть привычным со школы способом ((𝛼+𝛽)a=𝛼a+𝛽a).

7.   При умножении суммы каких-то двух элементов множества a, b на число 𝛼 скобки можно раскрыть привычным со школы способом ((a+b)𝛼=𝛼a+𝛼b).

8.    При умножении любого элемента a рассматриваемого множества на 1 получается тот же элемент a (1a=a).

Кажется, что мы имеем много сложных свойств. Однако, это не что иное, как привычные всем школы свойства, которые Вы, наверняка использовали при работе с числами. Чтобы Вам стало понятнее, давайте рассмотрим несколько примеров, которые не связаны с математикой на прямую.

Первый пример.

Рассмотрим множество всевозможных цветов. Насколько мы знаем, любой цвет можно получить смешением в различных пропорциях трех основных цветов - красный, зелёный и синий. Давайте с Вами выясним, является ли данное множество линейным пространством. С одной стороны кажется, что да. Если мы с Вами определим “сложение” двух цветов как их смешение, а умножение на число как их некоторую пропорцию, то, смешав любые два цвета с определенной пропорцией, мы получим некоторый другой цвет. Однако с другой стороны, если мы вспомним про наши 8 свойств и посмотрим на свойство под номером 4, то мы сразу поймем, что множество цветов не будет являться линейным пространством. Действительно, если у нас есть красный цвет или чёрный цвет, у нас должен быть, так называемый, отрицательный красный цвет или отрицательный черный, чтобы при смешивании мы вернулись к исходному цвету. Насколько нам известно, физически таких цветов не существует. Поэтому, множество всех цветов линейным пространством не является.

Второй пример.

Рассмотрим Вашу траекторию движения. К примеру, если Вы пошли прямо, потом налево, потом направо, то Прямо-Лево-Право - Ваша траектория движения из некоторой исходной точки. Оказывается, что множество Ваших траекторий движения образует линейное пространство. Действительно, Вы можете сложить любые две траектории между собой и получить новую траекторию, при умножении на число, считайте, что Вы растягиваете свою траекторию. При этом Вы всегда можете вернуться по исходной траектории назад в исходную позицию (существование “отрицательной” траектории), а также оставаться на месте (существование “нулевой” траектории).

Надеемся, после наших примеров Вам стало понятнее. Теперь, мы с Вами готовы дать определение понятию Алгебра.

Алгеброй мы будем называть множество элементов, являющееся линейным пространством (то есть на нём определены операции сложения элементов, умножения элементов на числа, и выполняются 8 свойств этих операций) с возможностью умножать элементы множества друг на друга. При этом эта операция должна удовлетворять следующим трём свойствам:

9.    (a+b)c = ac + bc, где a, b, c - произвольные элементы множества.

10. с(a+b) = ca + cb, где a, b, c - произвольные элементы множества.

11.(𝛼a)(𝛽b) = (𝛼𝛽)(ab), где a, b - произвольные элементы множества, 𝛼, 𝛽 - любые числа.

Обратите внимание, что здесь отсутствует привычное нам со школы свойство «От перестановки мест множителей произведение не меняется». Это не означает, что множество чисел не является алгеброй. Наоборот, множество чисел — отличный пример множества, являющегося алгеброй. Отсутствие этого свойства означает лишь, что в произвольной алгебре оно необязательно должно выполняться. Мы вернёмся к этому вопросу чуть позже.

Теперь, давайте рассмотрим три наиболее часто используемые алгебры: Алгебру матриц размера n, Алгебры Ли, Алгебры Клиффорда.

Алгебра матриц размера n

Перед тем как говорить об алгебре матриц, давайте разберёмся, что именно мы будем называть матрицей и какие матрицы мы будем рассматривать.

Матрицы имеют широкое практическое применение во многих областях. К примеру, в экономике с помощью матриц отражают распределение ресурсов по отраслям. В биологии с помощью матриц решают задачи популяции, генетики и систематики.

Мы можем смело утверждать, что матрица — это таблица, состоящая из m строк и n столбцов, в ячейках которой записаны числа (привет, Excel!). Такие матрицы мы будем обозначать как:

Мы с Вами будем рассматривать только квадратные матрицы (то есть матрицы, у которых количество строк равно количеству столбцов). Элемент матрицы, стоящей в i -ой строке и j -ом столбце, мы будем обозначать как ai,j.

Мы можем складывать, умножать на число и умножать друг на друга любые квадратные матрицы размера n по следующим правилам:

1. Сложение матриц. Сумма двух квадратных матриц размера n равна квадратной матрице того же размера, у которой любое число, стоящее в i -ой строке и j -ом столбце, равно сумме чисел, стоящих в i -ой строке и j -ом столбце в матрицах-слагаемых. Более формально:

 A+B=C:  ci,j= ai,j+bi,j

2.   Умножение матриц на число 𝛌.  Умножение квадратной матрицы размера n на число 𝛌 равно квадратной матрице размера n, у которой каждый элемент умножен на 𝛌. Более формально:

 𝛌A=C:  ci,j=𝛌 ai,j

3. Умножение квадратных матриц друг на друга. Умножение квадратной матрицы A на квадратную матрицу B того же размера равно квадратной матрице того же размера, у которой каждый элемент равен сумме произведений элементов строки матрицы A на элементы столбца матрицы B. Например:

Алгебры Ли

Алгебра Ли — это математическая структура, которая используется для изучения симметрий и преобразований в различных физических системах (например, в квантовой физике). Её элементы можно рассматривать как очень малые преобразования, которые описывают, как система меняется при небольших изменениях. Алгебры Ли играют важную роль в таких областях, как математика, физика и инженерия, помогая исследовать симметрии и законы сохранения.

Алгебра Ли называется алгеброй, потому что её элементы можно складывать и умножать на числа. Но это означает лишь то, что алгебра Ли - это линейное пространство. Для того чтобы она являлась алгеброй, необходима, как мы с Вами помним, еще одна операция, удовлетворяющая свойствам 9-11. В алгебре Ли в качестве такой операции выступает коммутатор, который еще называют скобкой Ли. 

Коммутатор двух элементов показывает, как одно преобразование влияет на другое, и является основным инструментом для изучения структуры этих симметрий. В отличие от обычной арифметики, где “от перестановки множителей произведение не меняется”, в алгебре Ли порядок операций важен.

Алгебра Ли имеет очень тесную связь с физикой. Данную связь можно особенно заметить через теорему Нётер, согласно которой, каждой симметрии физической системы соответствует закон сохранения. Например, симметрия во времени связана с законом сохранения энергии, а симметрия в пространстве — с законом сохранения импульса. Алгебры Ли помогают описывать данные симметрии, представляя их в виде математических объектов. Для того чтобы Вам стало более понятно давайте рассмотрим несколько примеров, которые помогут понять связь алгебры Ли с физикой.

Первый пример. Вращение объектов

Представьте, что Вы крутите спиннер или вращаете мяч. Вращения вокруг разных осей в пространстве (например, вокруг оси X, Y или Z) — это примеры симметрий. Эти вращения можно описать с помощью алгебры Ли. Если Вы повернёте объект сначала вокруг одной оси, а потом вокруг другой, результат будет отличаться, если поменять порядок вращений. Данное поведение связано с коммутатором в алгебре Ли, с помощью которого мы можем понять, как сочетаются такие вращения.

Второй пример. Симметрия и законы сохранения

Когда мы с Вами говорим о законах сохранения, таких как сохранение энергии или импульса, мы имеем дело с симметриями. К примеру, если некоторая физическая система не меняется во времени, это означает, что энергия сохраняется. Алгебры Ли используются для описания таких симметрий, а озвученная ранее теорема Нётер помогает связать их с конкретными законами сохранения.

Рассмотренные нами примеры позволяют понять, что алгебры Ли позволяют математически описывать, как симметрии и преобразования работают в реальном мире, будь то движение объектов, электрические поля или квантовые эффекты.

Алгебра Клиффорда

Что Вам больше в школе нравилась алгебра или геометрия? Если Вы не можете определиться, то представляем Вам Алгебру Клиффорда, которую иногда называют геометрической алгеброй, включающую в себя обе эти концепции.

Более формально, Алгебра Клиффорда — это математический инструмент, который помогает описывать и работать с вращениями, симметриями и другими преобразованиями в пространстве. Её можно представить как расширение понятий, о которых мы с Вами уже знаем из школьной алгебры. К примеру, чисел и векторов.

Алгебра Клиффорда является алгеброй так как, в ней можно складывать, умножать элементы и выполнять другие операции, как в привычной нами алгебре. Однако, в данном случае эти элементы могут быть не просто числами, а более сложными объектами, такими как “двойные векторы” (бивекторы).

Алгебра Клиффорда

Что Вам больше в школе нравилась алгебра или геометрия? Если Вы не можете определиться, то представляем Вам Алгебру Клиффорда, которую иногда называют геометрической алгеброй, включающую в себя обе эти концепции.

Более формально, Алгебра Клиффорда — это математический инструмент, который помогает описывать и работать с вращениями, симметриями и другими преобразованиями в пространстве. Её можно представить как расширение понятий, о которых мы с Вами уже знаем из школьной алгебры. К примеру, чисел и векторов.

Алгебра Клиффорда является алгеброй так как, в ней можно складывать, умножать элементы и выполнять другие операции, как в привычной нами алгебре. Однако, в данном случае эти элементы могут быть не просто числами, а более сложными объектами, такими как “двойные векторы” (бивекторы).

Для более полного понимания, что такое алгебра Клиффорда, давайте рассмотрим некоторые примеры применения алгебры Клиффорда на практике.

Первый пример. Компьютерная графика и 3D-анимация 

Мы уверены каждый из Вас когда-нибудь видел фильмы в формате 3D. Помните как там реалистично объекты вращаются и двигаются? Так вот, Алгебра Клиффорда как раз позволяет программировать данные движения, делая их настолько реалистичными, используя так называемые кватернионы (четырехмерные числа).

Второй пример. Робототехника

Как мы с Вами знаем роботы часто используются в местах, в которых имеется крайняя необходимость выполнять точные и аккуратные манипуляции, например, при сборке мелких деталей на конвейере или в хирургии. Алгебра Клиффорда используется для расчёта движений роботов, обеспечивая их надежные и точные движения.

Третий пример. Картография и геодезия

В картографии и геодезии (науках, связанных с созданием карт и измерением земли) алгебра Клиффорда помогает описывать кривизну поверхности Земли. С ее помощью моделирование земной поверхности и расчет маршрутов, к примеру, полета самолетов становится более точным. 

Также, с помощью алгебры Клиффорда можно получить связь с другими разделами математики. Например, многие концепции и методы линейной алгебры существенно обобщаются алгебрами Клиффорда.

Зачем нам вообще нужно столько алгебр?

Вам могло показаться, что существующее множество алгебр излишне по отношению к их количеству и во многом некоторые алгебры существуют лишь ради разнообразия. Это конечно же не так! Любая алгебра вводилась в первую очередь для решения конкретных потребностей и задач. К примеру, как мы с Вами поняли с помощью алгебр Ли мы можем сравнивать между собой и описывать различные математические объекты в более удобных формах.

Однако, стоит отметить, что на деле сами алгебры не являются абсолютно повсеместными. Они скорее имеют большее предназначение в различных задачах прикладной математики и физики.